二项式公式

　　二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

　　公式为

　　系数性质

　　⑴和首末两端等距离的系数相等；

　　⑵当二项式指数n是奇数时，中间两项最大且相等；

　　⑶当二项式指数n是偶数时，中间一项最大；

　　⑷二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同，都是2^(n-1）；

　　⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n。

　　二项式定理的系数Cnk怎么求

　　Cnk = [ n (n-1)(n-2)....(n-k 1) ] / k的阶乘；

　　例如：C5 2 =（5×4 ）÷ （ 2×1）=10。

　　对于任意一个n次多项式，总可以只借助最高次项和（n-1）次项，根据二项式定理，凑出完全n次方项，其结果除了完全n次方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项、二次项、三次项等，直到（n-2）次项。

　　特别地，对于三次多项式，配立方，其结果除了完全立方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项。

　　由于二次以上的多项式，在配n次方之后，并不能总保证在完全n次方项之后仅有常数项。于是，对于二次以上的一元整式方程，无法简单地像一元二次方程那样，只需配出关于x的完全平方式，然后将后面仅剩的常数项移到等号另一侧，再开平方，就可以推出通用的求根公式。

　　对于求解二次以上的一元整式方程，往往需要大量的巧妙的变换，无论是求解过程，还是求根公式，其复杂程度都要比一次、二次方程高出很多。

　　用数学归纳法证明二项式定理

　　证明：当n=1时，左边＝（a b)1＝a b

　　右边＝C01a C11b=a b;左边＝右边

　　假设当n＝k时，等式成立，即（a b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立；

　　则当n=k 1时, （a b)(n 1)=（a b)n*(a b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a b)

　　=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b

　　＝[C0na(n 1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r 1)br十…十Cnn abn] [C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r 1)十…十Cnn b(n 1)]

　　＝C0na(n 1)＋(C0n C1n)anb十…十(C(r-1)n Crn) a(n-r 1)br十…十(C(n-1)n Cnn)abn Cnn b(n 1)]

　　＝C0(n 1)a(n 1) C1(n 1)anb C2(n 1)a(n-1)b2 …＋Cr(n 1) a(n-r 1)br … C(n 1)(n 1) b(n 1)

　　∴当n=k 1时，等式也成立；

　　所以对于任意正整数，等式都成立。

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