射影定理公式

　　射影公式

　　在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有：BD2=AD·CD；AB2=AC·AD；BC2=CD·AC。

　　射影定理内容

　　AB2=AD·AC，BC2=CD·CA

　　两式相加得

　　AB2 BC2=AD·AC CD·AC=（AD CD)·AC=AC2（即勾股定理）。

　　注：AB2的意思是AB的2次方。

　　射影定理证明

　　已知:三角形中角A=90度。AD是高。

　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD CD=b·cosC c·cosB 同理可证其余。

　　证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A B)/sinA=a(sinAcosB cosAsinB)/sinA=acosB (asinB/sinA)cosA=a·cosB b·cosA. 同理可证其余。

　　射影公式的推理过程

　　① CD2=AD·BD;

　　② ②AC2=AD·AB;

　　③ ③BC2=BD·AB;

　　证明

　　① CD2 AD2=AC2,CD2 BD2=BC2

　　∴2CD2 AD2 BD2=AC2 BC2

　　∴2CD2=AB2-AD2-BD2

　　∴2CD2=(AD BD)2-AD2-BD2

　　∴2CD2=AD2 2AD·BD BD2-AD2-BD2

　　∴2CD2=2AD·BD ∴CD2=AD·BD

　　② CD2=AD·BD(已证)

　　∴CD2 AD2=AD·BD AD2

　　∴AC2=AD·(BD AD)

　　∴AC2=AD·AB

　　③ BC2=CD2 BD2

　　BC2=AD·BD BD2

　　BC2=(AD BD)·BD

　　BC2=AB·BD

　　∴BC2=AB·BD

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