容斥原理三集合公式

　　三集合容斥原理标准型公式

　　Ⅰ Ⅱ Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数

　　扩展

　　对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。

　　例1

　　某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?

　　解析

　　既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A B C-(M N W) X Y，135=89 47 63-(30 31 32) 24 Y，Y=5人。

　　结论

　　三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A B C -A∩B-B∩C-C∩A A∩B∩C。

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