最值定理(基本不等式最值定理)

最值定理

数学的基本公式之一，其表达为

已知X，Y都为正数，则 __

积XY为定值P时，当X=Y，X Y有最小值2√P

和X Y为定值S时，当X=Y，XY有最大值1/4S^2

若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值

证明

先证明其有界，（应用致密性定理）倘若f在[a,b]上无界，则对任意正整数n,存在Xn∈[a,b]，使得f(Xn)>n。依次取n=1，2…，则得到数列{Xn}（[a,b]。由致密性定理，它含有收敛子列{Xnk}，记lim(k→∞)Xnk=ξ。

由a≦Xnk≦b及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]。利用f在点ξ连续，推得lim(k→∞)f(Xnk)=f(ξ)< ∞

另一方面，由Xn的选取方法又有f(Xnk)>nk≥k→ ∞即lim(k→ ∞)f(Xnk)= ∞。

这与上式矛盾，所以，f在[a,b]有上界，类似可证明其有下界。

因为f在[a,b]上有上界，故由确界原理，f的值域f([a,b])有确界，记为M。

若不存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=M,则设：g(x)=1/(M-f(x))，x∈[a,b]

易见函数g在[a,b]上连续，故g在[a,b]上有上界。设G是g的一个上界，则0<g(x)=1/(M-f(x))≤G，x∈[a,b]

从而推得f(x)≦M-1/G，x∈[a,b]。

但这与M为f([a,b])的上确界(最小上界)相矛盾。所以必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M,即f在[a,b]上有最大值，同理证明有最小值

基本不等式最值定理

基本不等式最值定理：a b≥2√（ab）。a大于0，b大于0，当且仅当a=b时，等号成立。

有消元法和将条件灵活变形法。不等式是用不等号连接的式子。不等式分为严格不等式与非严格不等式，用纯粹的大于号、小于号连接的不等式称为严格不等式，用不小于号、不大于号连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

消元法就是由一些未知数间的已知等量关系,通过有限次的恒等变形,消去其中某些未知数,而得到另一些相关未知数间的等量关系的数学方法，消元法是解方程组的基本思想和方法,常常通过消元,只保留一个未知数,通过求出这个未知数,再求出其他的未知数，消元的基本方法是代入法和加减法。

条件灵活变形法：“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

最值原理

最值原理：已知X，Y都为正数，则 __。积XY为定值P时，当X=Y，X Y有最小值2√P。和X Y为定值S时，当X=Y，XY有最大值1/4S＊S。

最值原理（拆两个数）

1、和一定，差小积大，差大和小（重要）（差与和反向变化）。

2、积一定，差小和小，差大和大（差与积同向变化）。

例题：用1，2，3，4，5，6，组成两个无重复数字的三位数，则这两个三位数乘积最大、最小分别是多少？

影响乘积的因素：乘数的数位多少，乘数从高位到低位的数字大小，和一定差小积大，所以最大结果为631×542=342002，所以最小结果为135×246=33210。

均值定理：

又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。

均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在函数求最值问题中有十分频繁的应用。

常用不等式a2 b2≥2ab，当a=b时取等号，否则只取大于号由上述常见不等式得到一个推论：若a=0，b>O，a b≥2√ab（当ab时取等号,否则只取大于号）我们把这个推论就叫做均值定理。

求助大神，张宇说的高数必背八大定理有哪些

张宇说的高数必背八大定理指：零点定理、最值定理、介值定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、积分中值定理。

举例介绍：

1、零点定理

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。（至少存在一个点，其值是0）

2、最值定理

若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值。

3、介值定理

因为f(x)在[a,b]上连续，所以在[a,b]上存在最大值M，最小值N；即对于一切x∈[a,b],有N<=f(x)<=M。

因此有N<=f(x1)<=M；N<=f(x2)<=M；...N<=f(xn)<=M；上式相加，得nN<=f(x1) f(x2) ... f(xn)<=nM。

于是N<=[f(x1) f(x2) ... f(xn)]/n<=M，所以在(x1,xn)内至少存在一点c，使得f(c)=[f(x1) f(x2) ... f(xn)]/n。

4、费马定理

函数f(x)在点ξ的某邻域U（ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'（ξ）=0。

5、罗尔定理

如果函数f(x)满足以下条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在(a,b)内可导；

（3）f(a)=f(b)；

则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

6、拉格朗日中值定理

如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。

7、柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足：

（1）在闭区间【a，b】上连续；

（2）在开区间(a，b)内可导；

（3）对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，

那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式【f(b)-f(a)】/【F(b)-F(a)】=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

8、积分中值定理

若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立

∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b)。

高等数学十大定理公式

高等数学十大定理公式有有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理（泰勒公式）、积分中值定理（平均值定理）。

1、有界性

|f(x)|≤K

2、最值定理

m≤f(x)≤M

3、介值定理

若m≤μ≤M，∃ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ

4、零点定理

若 f(a)⋅f(b)<0∃ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0

5、费马定理

设f(x)在x0处：1，可导 2，取极值，则f′(x0)=0

6、罗尔定理

若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且f(a)=f(b)，则 ∃ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0

7、拉格朗日中值定理

若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，则∃ξ∈(a,b)，使得 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

8、柯西中值定理

若f(x)、g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g′(x)≠0，则

∃ξ∈(a,b)，使得 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)

9、泰勒定理（泰勒公式）

n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导

$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0) \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 ... \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$

n阶带拉格朗日余项：条件为 n 1阶可导

$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0) \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 ... \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \dfrac{f^{(n 1)}(\xi)}{(n 1)!}(x-x_0)^{n 1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$

10、积分中值定理（平均值定理）

若 f(x)在 [a,b]连续，则∃ξ∈(a,b)，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)

最值定理和介值定理的区别

这里有一题用了零值定理

设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证存在一点ξ∈(0,1),使f'(ξ)=1

证明：令F(x)=f(x)-x

F(1)=f(1)-1=-10

由零值定理知,至少存在一点η∈(1/2,1),使F(η)=0

因为F(0)=0=F(η),那么F(x)在[0,η]上满足罗尔定理,则至少存在一点ξ∈(0,η)使F'(ξ)=0

即存在ξ∈(0,1)使f'(ξ)=1

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